Question

【題目】關(guān)于函數(shù) 有以下四個(gè)命題：

①對(duì)于任意的，都有； ②函數(shù)是偶函數(shù)；

③若為一個(gè)非零有理數(shù)，則對(duì)任意恒成立；

④在圖象上存在三個(gè)點(diǎn)，，，使得為等邊三角形．其中正確命題的序號(hào)是__________．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，可得不論x是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，均有f（f（x））＝1；

②根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數(shù)；

③根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的性質(zhì)可判斷；

④取x1，x2＝0，x3，可得A（，0），B（0，1），C（，0），三點(diǎn)恰好構(gòu)成等邊三角形，即可判斷．

①∵當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（x）＝1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，f（x）＝0，

∴當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（f（x））＝f（1）＝1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，f（f（x））＝f（0）＝1，

即不論x是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，均有f（f（x））＝1，故①正確；

②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的相反數(shù)還是無(wú)理數(shù)，

∴對(duì)任意x∈R，都有f（﹣x）＝f（x），f（x）為偶函數(shù)，故②正確；

③由于非零有理數(shù)T，若x是有理數(shù)，則x+T是有理數(shù)；

若x是無(wú)理數(shù)，則x+T是無(wú)理數(shù)，

∴根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，

f（x+T）＝f（x）對(duì)x∈R恒成立，故③正確；

④取x1，x2＝0，x3，可得f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0，

∴A（，0），B（0，1），C（，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．

故答案為：①②③④．