Question

【題目】（本題滿分15分）已知點是圓上任意一點，過點作軸的垂線，垂足為，點滿足 記點的軌跡為曲線．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）設，點在曲線上，且直線與直線的斜率之積為，求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題（Ⅰ）求動點軌跡方程的題目求解步驟是：建系，設所求點，找到所求點的關系式并坐標化，整理化簡，檢驗結論（Ⅱ）首先設出直線方程，與橢圓方程聯立，由直線與直線的斜率之積為找到M,N兩點坐標滿足的關系式，進而求出弦長MN，找到三角形面積的函數表達式，求最值

試題解析：（I）設，，則．，，

，故點的軌跡方程：． 6分

（Ⅱ）（1）當直線的斜率不存在時，設．

則，，，不合題意． 7分

（2）當直線的斜率存在時，設，,

聯立方程，得．

，，． 9分

又，

即．

將，代入上式，得．

直線過定點． 11分

． 13分

令，即，．

當且僅當時，． 15分