Question

【題目】已知函數（為常數，），且數列是首項為2，公差為2的等差數列.

（1）若，當時，求數列的前項和；

（2）設，如果中的每一項恒小于它后面的項，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）用等差數列求和公式，結合對數的運算性質可得：，從而有，最后用錯位相減法結合等比數列的求和公式，得到數列的前項和；（2）由題意不等式對一切成立，代入的表達式并化簡可得．通過討論單調性可得當時，的最小值是，從而得到，結合，得到實數的取值范圍是．

試題解析：（1）由題意，即，

∴，，

當時，，

∴，①

，②

①—②，得，

∴．

（2）由（1）知，，要使，對一切成立，

即對一切成立，

∵，∴，∴，對一切恒成立，

只需，

單調遞增，∴當時，，∴，且，∴，

綜上所述，存在實數滿足條件．