Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的頂點都在球面上，若AA₁=2，BC=1，∠BAC=150°，則該球的體積是

8 2

3

π

．

Answer 1

分析：畫出球的內接直三棱ABC-A₁B₁C₁，利用球心到各個頂點的距離都等于球的半徑求出球的半徑，然后可求球的體積．

解答：解：直三棱ABC-A₁B₁C₁的各頂點都在同一球面上，如圖，連接上下底面外心P、Q，O為PQ的中點，OP⊥平面ABC，則球的半徑為OA，
由BC=1，∠BAC=150°，
由正弦定理

BC

sin∠BAC

=2r，即

1

sin150°

=2r，r=1，
可得△ABC外接圓半徑r=AP=1，
在Rt△OAP中，OP=

1

2

PQ=

1

2

AA₁=1
易得球半徑：R=

OP2+AP2

，
∴R=

12+12

=

2

，
所以球的體積為：V=

4

3

πR3
∴V=

4

3

π×(

2

)3=

8 2

3

π．
故答案為：

8 2

3

π．

點評：本題考查球的體積，球的內接體等問題，考查學生空間想象能力、理解能力，是基礎題．