Question

如圖，AB是圓O的直徑，P為圓外一點，PB是圓O的切線，PA是圓O的割線且與圓O相交于點C．過點C作圓O的切線與PB交于D點．求證：
（1）OD∥AP；
（2）PD•PB=PC•OD．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC及BC，因為PB和DC為圓O的切線，所以角OBD和角OCD相等且都為直角，則三角形OBD和三角形OCD都為直角三角形，由一對半徑相等和一對公共邊，利用“HL”的方法即可得到兩直角三角形全等，根據全等三角形的對應角相等得到角BOD等于角COD都等于角BOC的一半，又根據同弧所對的圓心角等于所對弧的圓周角的2倍，得到角OAC也為角BOC的一半，進而得到角BOD等于角OAC，根據同位角相等，兩直線平行，即可得證；
（2）根據切割線定理得到PB的平方等于PC與PA的積，由（1）得出的OD與PA平行和O為AB的中點，得到D也為BP的中點（得到PB等于2PD），進而得到OD為三角形BPA的中位線，根據中位線定理，得到PA等于2OD，然后把切割線定理得到關系式中的PB和PA等量代換，約分化簡后即可得證．
解答：證明：（1）連接OC，BC，
在△OCD和△OBD中
∠OCD=∠OBD=90°，

OB=OC，OD=OD，
∴直角△OCD≌直角△OBD，
∴∠BOD=∠COD=∠BOC．①
又∠BOC與∠BAC分別是所對的圓心角和圓周角
∴∠BOC=∠BAC，②
由①②得∠BOD=∠BAC，
∴OD∥AP．
（2）∵PB²=PC•PA，③
由（1）知OD∥AP，O為AB中點，
∴DO是△BPA的中位線，
∴PA=2OD，PB=2PD，代入③得
2PD•PB=PC•2OD，
即PD•PB=PC•OD．
點評：此題考查學生靈活運用“HL”的方法證明兩直角三角形全等，掌握切線的性質及切割線定理，要求學生善于觀察圖形尋找角與角之間存在的關系，培養學生的邏輯思維能力，是一道中檔題．