Question

（理科）如圖的多面體是底面為平行四邊形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，經(jīng)平面AEFG所截后得到的圖形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．

（Ⅰ）求證：BD⊥平面ADG；
（Ⅱ）求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

（文科）如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）設(shè)FC的中點(diǎn)為M，求證：OM∥平面DAF．

Answer 1

分析：（理科）（I）由題在△BAD中，通過計算得到AD⊥BD，再利用條件線面垂直得到線線垂直，進(jìn)而得到要證的線面垂直；
（II） 由題意及圖形特點(diǎn)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量的夾角與二面角的大小之間的關(guān)系求出二面角的大小．
（文科）（I）由題意及平面ABCD⊥平面ABEF且CB⊥AB，利用面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直，在利用圓的直徑所對的圓周角為直角的性質(zhì)得到線線垂直，進(jìn)而利用線面垂直的判定定理得出要證明的結(jié)論；
（II）由題意及條件借助線線平行得到線面平行，再利用線面平行的性質(zhì)定理的得到所證．

解答：（理科）解：（Ⅰ）證明：在△BAD中，AB=2AD=2，∠BAD=60°，
由余弦定理得，BD=

3

∴AB²=AD²+BD²．
∴AD⊥BD
又GD⊥平面ABCD
∴GD⊥BD，
GD∩AD=D，
∴BD⊥平面ADG，

（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OG為z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz
則有A（1，0，0），B（0，

3

，0），G（0，0，1），E（0，

3

，2）

AG

=(-1，0，1)，

AE

=(-1，

3

，2)
設(shè)平面AEFG法向量為

m

=（x，y，z）
則

m • AG =-x+z=0 m • AE =-x+ 3 y+2z=0

，
取

m

=(1，-

3

3

，1)，
平面ABCD的一個法向量

n

=

DG

=(0，0，1)，
設(shè)面ABFG與面ABCD所成銳二面角為θ，
則cosθ=

| m • n |

| m |•| n|

=

21

7

．

（文科）解：（Ⅰ）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，
∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，
又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．
（Ⅱ）設(shè)DF的中點(diǎn)為N，則MN

∥ .

.

1

2

CD，又AO

∥ .

.

1

2

CD，則MN

∥ .

.

AO，MNAO為平行四邊形，
∴OM∥AN，又AN?平面DAF，OM?平面DAF，∴OM∥平面DAF．

點(diǎn)評：（理科）此題重點(diǎn)考查了線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理等知識，還考查了利用空間向量的知識求解二面角的大小的知識．
（文科）此題重點(diǎn)考查了面賣弄垂直的判定定理及線面垂直的判定定理，還考查了線面平行的判定定理及平行直線間的平行具有傳遞性．