Question

（2012•大連二模）如圖，三棱柱ABC-A′B′C′，cc′=

2

，BC′=

2

，BC=2，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC′B′，E、F分別為棱AB、CC′的中點(diǎn)．
（I）求證：EF∥平面A′BC′；
（Ⅱ）若AC≤

2

，且EF與平面ACC'A'所成的角的余弦為

7

3

，求二面角C-AA'-B的大小．

Answer 1

分析：（I）法一：利用直線與平面平行的判定定理證明EF∥平面A′BC′；
法二：通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A'BC'的法向量，利用向量數(shù)量積為證明直線與平面平行．
（Ⅱ）利用走法二的空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACC'A'的法向量，利用EF與平面ACC'A'所成的角的余弦為

7

3

，求出b的值，然后求出平面AA'B的一個(gè)法向量，利用向量的數(shù)量積求二面角C-AA'-B的大小．

解答：解：（Ⅰ）證法一：取A'B中點(diǎn)M，連接EM、C'M，
又∵E為AB中點(diǎn)，∴EM

∥ .

.

1

2

AA′
∵AA′

∥ .

.

BB′

∥ .

.

CC′，
F為CC'中點(diǎn)，∴FC′

∥ .

.

1

2

AA′，
∴FC′

∥ .

.

EM∴EMCF是平行四邊形，
∴EF∥C'M，…（2分）
又EF?平面A'BC'，C'M?平面A'BC'，∴EF∥平面A'BC'…（4分）
證法二：

∵CC′=BC′= 2 ，BC=2，

∴△CC′B是以BC為斜邊的等腰直角三角形．
取BC中點(diǎn)O，連接AO、C'O有AO⊥BC，C'O⊥BC
∵面ABC⊥面BCC'B'，且面ABC∩面BCC'B'=BC
∴AO⊥面BCC'B'，C'O⊥面ABC
如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz∴C（1，0，0），C'（0，10），A（0，0，b），B（-1，0，0）（b＞0）
∴E(-

1

2

，0，

b

2

)，F(xiàn)(

1

2

，

1

2

，0)，∴

EF

=(1，

1

2

，-

b

2

)
設(shè)平面A'BC'的法向量為

n

=(x，y，z)
又

BC′

=(1，1，0)，

A′C′

=

AC

=(1，0，-b)
∴

x+y=0 x-bz=0

∴

n

的一組解為

n

=(b，-b，1)
∴

n

•

EF

=b-

b

2

-

b

2

=0
∴

n

⊥

EF

又EF?平面A'BC'∴EF∥平面A'BC'…（4分）
（Ⅱ）解：利用（Ⅰ）中證法二的坐標(biāo)系，設(shè)平面ACC'A'的法向量為

n1

=(x，y，z)
又

CC′

=(-1，1，0)，

AC

=(1，0，-b)
∴

-x+y=0 x-bz=0

∴

n

1的一組解為

n

1=(b，b，1)…（5分）
又

EF

=(1，

1

2

，-

b

2

)
∴

| n • EF |

| n || EF |

=

b

2b2+1 5 4 + b2 4

=

2

3

…（6分）
解得b=1，b=

10

2

∵AC≤

2

∴b=1…（8分）
同理可求平面AA'B的一個(gè)法向量

n

2=(1，1，-1)
∴cos＜

n1

•

n2

＞=

1

3

…（11分）
所以所求二面角的大小為arccos

1

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，利用向量的垂直關(guān)系以及向量的數(shù)量積求解直線與平面所成角以及二面角，考查計(jì)算能力．