Question

【題目】已知等差數列{}滿足： ＝2，且成等比數列.

(1）求數列{}的通項公式.

(2）記為數列{}的前n項和，是否存在正整數n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1）an＝2或an＝4n－2(2）當an＝2時，不存在滿足題意的正整數n；當an＝4n－2時，存在滿足題意的正整數n，其最小值為41.

【解析】試題分析：(1）設出等差數列的公差d，由成等比數列列式求得d，則數列{an}的通頂公式可求；

(2）把代入，求出n的范圍，由n是負值，說明不存在正整數n，使得

試題解析：(1）設數列{an}的公差為d，依題意得，2，2＋d，2＋4d成等比數列，

故有(2＋d）2＝2(2＋4d），

化簡得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.

當d＝0時，an＝2；

當d＝4時，an＝2＋(n－1）·4＝4n－2.

從而得數列{an}的通項公式為an＝2或an＝4n－2

(2）當an＝2時，Sn＝2n，顯然2n<60n＋800，

此時不存在正整數n，使得Sn>60n＋800成立.

當an＝4n－2時，Sn＝＝2n2.

令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，

解得n>40或n<－10(舍去），

此時存在正整數n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值為41.

綜上，當an＝2時，不存在滿足題意的正整數n；

當an＝4n－2時，存在滿足題意的正整數n，其最小值為41.