Question

【題目】設函數.

（1）已知函數,求的極值；

（2）已知函數,若存在實數,使得當時,函數的最大值為,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極大值為，極小值為；（2）.

【解析】

試題分析：（1）化簡，利用導數作為工具可求得其單調區間和極值；（2）化簡，求導后對進行分類討論，利用單調區間來求得實數的取值范圍.

試題解析：

（1）由已知條件得, ,且函數定義域為,所以,令,得或,

隨的變化如下表:

當時,函數取得極大值;當時,函數取得極小值.

（2）由條件, 得,且定義域為,,當時, 令有或.

①當時, 函數 在上單調遞增, 顯然符合題意.

②當, 即時, 函數在和上單調遞增, 在上單調遞減. 此時由題意, 知只需,解得,又,所以實數的取值范圍是.

③當, 即時, 函數在和上單調遞增, 在上單調遞減, 要存在實數,使得當時, 函數的最大值為,則,代入化簡得. 令,因恒成立, 故恒有時, 式恒成立; 綜上，實數的取值范圍是.