Question

【題目】如圖（1），在矩形中，，在邊上，．沿，將和折起，使平面和平面都與平面垂直，如圖（2）．

（1）試判斷圖（2）中直線與的位置關系，并說明理由；

（2）求平面和平面所成銳角二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）∥．見解析（2）．

【解析】

（1）分別取，的中點，，連結，，，，可證得與都與平面垂直，從而得它們平行且相等，得平行四邊形，得，在圖（1）中可證得，從而得結論；

（2）在邊上取一點，使得，可證得，，兩兩垂直．以點為坐標原點，直線，，分別為坐標軸建立空間直角坐標系，用空間向量法求二面角的余弦．

解：（1）．理由如下：

連結，分別取，的中點，，連結，，，由圖（1）

可得，與都是等腰直角三角形且全等，則，，，如圖．

∵平面平面，交線為，平面，，∴平面．

同理得，平面，∴．

又∵∴四邊形為平行四邊形，∴．

∵，分別是，的中點∴

∴．

（2）在邊上取一點，使得．

由圖（1）可得，為正方形，即．

∵為的中點∴．

由（1）知，平面，∴，，兩兩垂直．

以點為坐標原點，直線，，分別為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖．

設，則，，，，

∴，．

設平面的一個法向量為．

由得．

令，則，，∴．

由平面是坐標平面可得：平面一個法向量為．

設平面與平面所成的銳角二面角為，則

，

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為．