Question

已知拋物線的方程為y²=4x，直線l過定點P（-2，0），斜率為k，當k為何值時，直線與拋物線：
（1）只有一個公共點；
（2）有兩個公共點；
（3）沒有公共點．

Answer 1

分析：由題意可設直線方程為：y=k（x+2），聯立方程可得，

y=k(x+2) y2=4x

整理可得k²x²+4（k²-1）x+4k²=0（*）
（1）直線與拋物線只有一個公共點?（*）只有一個根
（2）直線與拋物線有2個公共點?（*）有兩個根
（3）直線與拋物線沒有一個公共點?（*）沒有根

解答：解：由題意可設直線方程為：y=k（x+2）
聯立方程可得，

y=k(x+2) y2=4x

整理可得k²x²+4（k²-1）x+4k²=0（*）
（1）直線與拋物線只有一個公共點?（*）沒有根
①k=0時，x=0符合題意
②k≠0時，△=16（k²-1）²-16k⁴=0
∴k=±

2

2

綜上可得，k=

2

2

，-

2

2

，或0，
（2）直線與拋物線有2個公共點?（*）有兩個根
∴

16(k2-1)2-16k4＞0 k≠0

∴-

2

2

＜k＜

2

2

且k≠0
即(-

2

2

，0)∪(0，

2

2

)
（3）直線與拋物線沒有一個公共點?（*）沒有根

k≠0 16(k2-1)2-16k4＜0

解不等式可得，k＜-

2

2

或k＞

2

2

點評：本題主要考查了由直線與拋物線的位置關系的求解參數的取值范圍，一般的思路是把位置關系轉化為方程解的問題，體現了轉化的思想．解題中容易漏洞對二次項是否為0的討論