Question

求與雙曲線(xiàn)

x2

2

-y2=1有兩個(gè)公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P(

3

，2)的圓錐曲線(xiàn)的方程．

Answer 1

分析：先通過(guò)雙曲線(xiàn)

x2

2

-y2=1方程求出圓錐曲線(xiàn)兩個(gè)焦點(diǎn)，再分橢圓與雙曲線(xiàn)兩中情況分別求解．

解答：解：雙曲線(xiàn)

x2

2

-y2=1的焦點(diǎn)F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)
（1）設(shè)圓錐曲線(xiàn)為橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
則

a2-b2=3(焦距為2 3 ) 3 a2 + 4 b2 =1(過(guò)點(diǎn)P( 3 ，2))

⇒

a2=9 b2=6

橢圓方程為：

x2

9

+

y2

6

=1
（2）設(shè)圓錐曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)

x2

p2

-

y2

q2

=1（p＞0，q＞0）
則

p2+q2=3(焦距為2 3 ) 3 p2 - 4 q2 =1(過(guò)點(diǎn)P( 3 ，2))

⇒

p2=1 q2=2

雙曲線(xiàn)方程為：x2-

y2

2

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．一般用待定系數(shù)法．