Question

【題目】已知函數(shù)（，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若對(duì)于恒成立．

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）證明：存在唯一極大值點(diǎn)，且．

Answer 1

【答案】(1);(2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)f(x)提取公因式，可知只需，而，所以是的一個(gè)極小值點(diǎn)，可解得。（2）由（1）知，，．令，則，由單調(diào)性及，，知在上存在，滿足,可知在上只有一個(gè)極小值點(diǎn)0，存在唯一的極大值點(diǎn)，且．再由隱零點(diǎn)回代可證得不等式成立。

試題解析：（1）由，可得，

因?yàn)?/span>，所以，

從而是的一個(gè)極小值點(diǎn)，

由于，所以，即．

當(dāng)時(shí)，，，

∵時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

∴，故．

（2）當(dāng)時(shí)，，．

令，則，

∵時(shí)，，在上為減函數(shù)；

時(shí)，，在上為增函數(shù)，

由于，，所以在上存在滿足，

∵在上為減函數(shù)，

∴時(shí)，，即，在上為增函數(shù)，

時(shí)，，即，在上為減函數(shù)，

時(shí)，，即，在上為減函數(shù)，

時(shí)，，即，在上為增函數(shù)，

因此在上只有一個(gè)極小值點(diǎn)0，

綜上可知，存在唯一的極大值點(diǎn)，且．

∵，∴，

所以，，

∵時(shí)，，∴；

∵，∴；

綜上知：．