Question

【題目】如圖，在正方形ABCD的一邊CD內(nèi)任取一點(diǎn)E，過(guò)E作對(duì)角線AC的平行線，交對(duì)角線BD于點(diǎn)G、交邊AD于點(diǎn)H、交邊BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BH交DF于點(diǎn)M．求證：

（1）C、G、M三點(diǎn)共線；

（2）C、E、M、F四點(diǎn)共圓．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由已知有，．于是，．

又，則H是的垂心．

故通過(guò)H的BM也是三角形的高線，得．

進(jìn)而，M、A、B、C、D五點(diǎn)共圓（或說(shuō)點(diǎn)M在正方形ABCD的外接圓上）．

如下圖．聯(lián)結(jié)CM、CC．則CM、CG在CD的同側(cè)，有．①

又由H是的垂心，有M、F、B、G的四點(diǎn)共圓．于是，．②

由式①、②有．

于是，CM與CG重合．

因此，C、G、AM三點(diǎn)共線．

（2）由（1）知M、F、B、G四點(diǎn)共圓及M、A、B、C、D五點(diǎn)共圓，得．

于是，C、E、M、F四點(diǎn)共圓．

【注】當(dāng)點(diǎn)E沿方向運(yùn)動(dòng)到線段CD之外時(shí)，結(jié)論仍成立（可用坐標(biāo)法統(tǒng)一證明）．