Question

【題目】如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1 ， M，N分別是A1B，B1C1的中點．

（1）求證：MN⊥平面A1BC；
（2）求直線BC1和平面A1BC所成的角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．連接AC1，則BC⊥AC1．

又側面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．

又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．

因為側面ABB1A1是正方形，M是A1B的中點，連接AB1，則點M是AB1的中點．

又點N是B1C1的中點，則MN是△AB1C1的中位線，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．

（2）解：如圖所示，因為AC1⊥平面A1BC，設AC1與A1C相交于點D，

連接BD，則∠C1BD為直線BC1和平面A1BC所成的角．

設AC＝BC＝CC1＝a，則C1D＝ a，BC1＝ a．

在Rt△BDC1中，sin ∠C1BD＝ ＝ ，所以∠C1BD＝30°，故直線BC1和平面A1BC所成的角為30°．

【解析】(I)證明線面垂直，關鍵是證明線線垂直，根據BC⊥AC1，A1C⊥AC1，AC1⊥平面A1BC，又因為MN∥AC1，可得；
（II）由AC1⊥平面A1BC，得∠C1BD為直線BC1和平面A1BC所成的角，解三角形即可.