Question

直線l與橢圓+=1(a>b>0)交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)兩點,已知m=(ax₁,by₁),n=(ax₂,by₂),若m⊥n且橢圓的離心離e=,又橢圓經過點(,1),O為坐標原點.
(1)求橢圓的方程.
(2)試問:△AOB的面積是否為定值?如果是,請給予證明;如果不是,請說明理由.

Answer 1

(1) +x²=1.   (2) 定值.理由見解析

(1)∵∴a=2,b=1,
∴橢圓的方程為+x²=1.
(2)①當直線AB斜率不存在時,即x₁=x₂,y₁=-y₂,
由已知m·n=0,得4-=0⇒=4,
又A(x₁,y₁)在橢圓上,
所以+=1⇒|x₁|=,|y₁|=,
S_△AOB=|x₁||y₁-y₂|=|x₁|·2|y₁|=1,三角形的面積為定值.
②當直線AB斜率存在時,設AB的方程為y=kx+t,
由⇒(k²+4)x²+2ktx+t²-4=0,必須Δ>0,即4k²t²-4(k²+4)(t²-4)>0,
得到x₁+x₂=,x₁x₂=,
∵m⊥n,∴4x₁x₂+y₁y₂=0?4x₁x₂+(kx₁+t)(kx₂+t)=0,代入整理得:2t²-k²=4,
S=×|AB|=|t|===1,
所以三角形的面積為定值.