Question

【題目】設函數f（x）=|x﹣a|，a∈R． （Ⅰ）當a=2時，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≤4的解集為[﹣1，7]，且兩正數s和t滿足2s+t=a，求證： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=2時，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化為|x﹣2|+|2x﹣5|≥6． ① x≥2.5時，不等式可化為x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥ ；
②2≤x＜2.5，不等式可化為x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈；
③x＜2，不等式可化為2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤ ，
綜上所述，不等式的解集為（﹣ ] ；
（Ⅱ）證明：不等式f（x）≤4的解集為[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，
∴ = （ ）（2s+t）= （10+ + ）≥6，當且僅當s= ，t=2時取等號
【解析】（Ⅰ）利用絕對值的意義表示成分段函數形式，解不等式即可．（2）根據不等式的解集求出a=3，利用1的代換結合基本不等式進行證明即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用絕對值不等式的解法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．