Question

【題目】某學校對高三學生一次模擬考試的數學成績進行分析，隨機抽取了部分學生的成績，得到如圖所示的成績頻率分布直方圖．

（1）根據頻率分布直方圖估計這次考試全校學生數學成績的眾數、中位數和平均值；
（2）若成績不低于80分為優秀成績，視頻率為概率，從全校學生中有放回的任選3名學生，用變量ξ表示3名學生中獲得優秀成績的人數，求變量ξ的分布列及數學期望E（ξ）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由頻率分布直方圖得[70，80）對應的小矩形最高，

∴眾數為： =75，

∵[50，70）的頻率為（0.012+0.018）×10=0.3，

[70，80）的頻率為0.04×10=0.4，

∴中位數為：70+ =75，

平均值為：55×0.12+65×0.18+75×0.40+85×0.22+95×0.08=74.6

所以綜合素質成績的平均值為74.6．

（2）解：由頻率分布直方圖知優秀率為10×（0.008+0.022）=0.3，

由題意知ξ～B（3，0.3）， ，

，

，

，

故ξ的分布列為

P	0	1	2	3
ξ	0.343	0.441	0.189	0.027

E（ξ）=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9．

【解析】（1）由頻率分布直方圖得[70，80）對應的小矩形最高，能出眾數，由頻率分布直方圖的性質能求出中位數和綜合素質成績的平均值．（2）由頻率分布直方圖知優秀率為0.3，由題意知ξ～B（3，0.3），由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平均數、中位數、眾數和離散型隨機變量及其分布列的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握⑴平均數、眾數和中位數都是描述一組數據集中趨勢的量；⑵平均數、眾數和中位數都有單位；⑶平均數反映一組數據的平均水平，與這組數據中的每個數都有關系，所以最為重要，應用最廣；⑷中位數不受個別偏大或偏小數據的影響；⑸眾數與各組數據出現的頻數有關，不受個別數據的影響，有時是我們最為關心的數據；在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．