Question

【題目】從數列中取出部分項組成的數列稱為數列的“子數列”.

（1）若等差數列的公差，其子數列恰為等比數列，其中，，，求；

（2）若，，判斷數列是否為的“子數列”，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）3n﹣1﹣n（2）見解析

【解析】

（1）運用等比數列的中項性質和等差數列的通項公式，求得首項和公差的關系，可得等比數列的公比，結合等比數列的通項公式，可得kn＝23n﹣1﹣1，再由數列的分組求和，即可得到所求和；

（2）數列{bn}為{an}的“子數列”．由3k﹣2＝4n，可得3k＝4n+2，運用二項式定理即可得證．

（1）等差數列{an}的公差d≠0，其子數列{a}恰為等比數列，

其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，可得aa1，aa5，aa17，

且有a52＝a1a17，即（a1+4d）2＝a1（a1+16d），

化為a1＝2d，則an＝a1+（n﹣1）d＝（n+1）d，

子數列{a}為首項為2d，公比為3的等比數列，

則a2d3n﹣1＝（kn+1）d，可得kn＝23n﹣1﹣1，

則k1+k2+…+kn＝（2+6+…+23n﹣1）﹣n

n＝3n﹣1﹣n；

（2）若an＝3n﹣2，bn＝4n，數列{bn}為{an}的“子數列”．

由3k﹣2＝4n，可得3k＝4n+2，

由4n＝（1+3）n＝1+C3+C32+…+3n，

即有4n+2＝3（1+CC3+…+3n﹣1），顯然為3的倍數，

故數列{bn}為{an}的“子數列”．