Question

（本題滿分13分）已知函數
（I）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；
（II）令，是否存在實數，當（是自然常數）時，函數
的最小值是3若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
（改編）（Ⅲ）當時，證明：．

Answer 1

解：（I）在上恒成立，
令，有 得  ………………3分
得                                      ………………4分
（II）假設存在實數，使， 有最小值3，
          ………………5分
①      當時，在上單調遞減，
，（舍去），………………6分
②當時，在上單調遞減，在上單調遞增
，，滿足條件．………………7分
③      當時，在上單調遞減，
，（舍去），………………8分
綜上，存在實數，使得當時有最小值3．………………9分
（3）令，由（II）知．………………10分
令，，
當時，，在上單調遞增 
∴    ………………12分
 即．………………13分

略