Question

（2013•遼寧）（選修4-5不等式選講）
已知函數(shù)f（x）=|x-a|，其中a＞1
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≥4-|x-4|的解集；
（2）已知關(guān)于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）≥4-|x-4|可化為|x-2|+|x-4|≥4，直接求出不等式|x-2|+|x-4|≥4的解集即可．
（2）設(shè)h（x）=f（2x+a）-2f（x），則h（x）=

-2a，x≤0 4x-2a，0＜x＜a 2a，x≥a

．由|h（x）|≤2解得

a-1

2

≤x≤

a+1

2

，它與1≤x≤2等價(jià)，然后求出a的值．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）≥4-|x-4|可化為|x-2|+|x-4|≥4，
當(dāng)x≤2時(shí)，得-2x+6≥4，解得x≤1；
當(dāng)2＜x＜4時(shí)，得2≥4，無(wú)解；
當(dāng)x≥4時(shí)，得2x-6≥4，解得x≥5；
故不等式的解集為{x|x≥5或x≤1}．
（2）設(shè)h（x）=f（2x+a）-2f（x），則h（x）=

-2a，x≤0 4x-2a，0＜x＜a 2a，x≥a

 由|h（x）|≤2得

a-1

2

≤x≤

a+1

2

，
又已知關(guān)于x的不等式|f（2x+a）-2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，
所以

a-1 2 =1 a+1 2 =2

，
故a=3．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查絕對(duì)值不等式的解法，注意分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，常考題型．