Question

【題目】設函數.

（1）若函數在區間（為自然對數的底數）上有唯一的零點，求實數的取值范圍；

（2）若在（為自然對數的底數）上存在一點，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或（2）.

【解析】

（1）求得，對的范圍分類，即可判斷函數的單調性，結合即可判斷函數在區間上是否有唯一的零點，問題得解。

（2）將問題轉化為：函數在上的最小值小于零.求得，對的范圍分類即可判斷函數的單調性，從而求得的最小值，問題得解。

（1），其中.

①當時，恒成立，單調遞增，

又∵，函數在區間上有唯一的零點，符合題意.

②當時，恒成立，單調遞減，

又∵，函數在區間上有唯一的零點，符合題意.

③當時，時，，單調遞減，

又∵，∴，

∴函數在區間有唯一的零點，

當時，，單調遞增，

當時符合題意，即，

∴時，函數在區間上有唯一的零點；

∴的取值范圍是.

（2）在上存在一點，使得成立，等價于在上有解，即函數在上的最小值小于零.

，

①當時，即時，在上單調遞減，所以的最小值為，由可得，∵，∴；

②當時，即時，在上單調遞增，所以的最小值為，由可得；

③當時，即時，

可得的最小值為，∵，∴，，所以不成立.

綜上所述：可得所求的取值范圍是.