Question

【題目】已知橢圓 的中心在原點焦點在 軸上，離心率等于 ，它的一個頂點恰好是拋物線 的焦點.

（1）求橢圓 的焦點；
（2）已知點 在橢圓 上，點 是橢圓 上不同于 的兩個動點，且滿足： ，試問：直線 的斜率是否為定值？請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，∴設橢圓標準方程為 （a＞b＞0），
∵橢圓離心率等于 ，它的一個頂點恰好是拋物線 的焦點．
焦點為(0,2 )，
∴b=2 …（1分）e= = ，a2﹣b2=c2 ，
∴解得a2=16，b2=12
∴橢圓C的標準方程
（2）解：直線 x=﹣2與橢圓 交點P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）或P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3），∴|PQ|=6，設A （x1 ， y1 ），B（ x2 ， y2），
當∠APQ=∠BPQ時直線PA，PB斜率之和為0．
設PA斜率為k，則PB斜率為﹣k．
當P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）時，
PA的直線方程為y﹣3=k（x+2）
與橢圓聯立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2﹣48=0
∴ = ;
同理
∴
, y1﹣y2=k（x1+2）+3﹣[﹣k（x2+2）+3]=
直線AB斜率為
【解析】(1)利用已知條件結合橢圓與拋物線的基本性質即可求出b的值，結合橢圓的離心率求出a的值進而求出橢圓的方程。(2)根據已知條件求出直線PA、PB的方程，聯立直線與橢圓的方程消元結合韋達定理推導出 x1 + x2的代數式進而得出x1x2的表達式由此就能求出AB的斜率的值。