Question

【題目】過拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，且A，B兩點的縱坐標之積為﹣4．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知點D的坐標為（4，0），若過D和B兩點的直線交拋物線C的準線于P點，求證：直線AP與x軸交于一定點．

Answer 1

【答案】
（1）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），

設直線AB的方程為x=my+

與拋物線的方程聯立 ，得y2﹣2mpy﹣p2=0，

∴y1y2=﹣p2=﹣4，

解得p=±2，

∵p＞0，

∴p=2

（2）解：依題意，直線BD與x軸不垂直，∴x2=4．

∴直線BD的方程可表示為，y= （x﹣4）①

∵拋物線C的準線方程為，x=﹣1②

由①，②聯立方程組可求得P的坐標為（﹣1，﹣ ）

由（1）可得y1y2=﹣4，

∴P的坐標可化為（﹣1， ），

∴kAP= = ，

∴直線AP的方程為y﹣y1= （x﹣x1），

令y=0，可得x=x1﹣ = ﹣ =

∴直線AP與x軸交于定點（ ，0）．

【解析】（1）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），設直線AB的方程為x=my+ ，聯立方程組，根據A，B兩點的縱坐標之積為﹣4，即可求出p的值，（2）表示出直線BD的方程可表示為，y= （x﹣4）①，拋物線C的準線方程為，x=﹣1②，構成方程組，解得P的坐標，求出直線AP的斜率，得到直線AP的方程，求出交點坐標即可．