Question

已知函數，，其中且．
(Ⅰ)當，求函數的單調遞增區間；
(Ⅱ)若時，函數有極值，求函數圖象的對稱中心的坐標；
（Ⅲ）設函數 （是自然對數的底數），是否存在a使在上為減函數，若存在，求實數a的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)單調增區間是，；(II);（III）

解析試題分析：(Ⅰ) 為確定函數的單調區間，往往遵循“求導數、求駐點、分區間討論導數的正負、確定函數的單調性”等步驟.
(Ⅱ)為確定函數的極值，往往遵循“求導數、求駐點、分區間討論導數的正負、確定函數的極值”等步驟.
本小題根據函數有極值，建立的方程，求得，從而得到.根據的圖象可由的圖象向下平移16個單位長度得到，而的圖象關于（0，0）對稱，
得到函數的圖象的對稱中心坐標.
（Ⅲ）假設存在a使在上為減函數，通過討論導函數為負數，得到的不等式，達到解題目的.
試題解析：(Ⅰ) 當，
，       1分
設，即，
所以，或，       2分
單調增區間是，；       4分
(Ⅱ)當時，函數有極值，
所以，       5分
且，即，       6分
所以，
的圖象可由的圖象向下平移16個單位長度得到，而的圖象關于（0，0）對稱，       7分
所以函數的圖象的對稱中心坐標為；       8分
（Ⅲ）假設存在a使在上為減函數，
，
        9分
當在上為減函數，則在上為減函數，在上為減函數，且，則．       10分
由（Ⅰ）知當時，的單調減區間是，
(1)當時，，在定義域上為增函數，
不合題意；       11分
(2)當時，由得：，在上為增函數，則在上也為增函數，也不合題意；       12分
(3)當時，由得：，在上為減函數，如果在上為減函數，則在上為減函數，則：
，所以．       13分
綜上所述，符合條件的a滿足．