Question

已知函數.
（Ⅰ）若曲線在和處的切線互相平行，求的值；
（Ⅱ）求的單調區間；
（Ⅲ）設，若對任意，均存在，使得＜，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，故的單調遞增區間是，單調遞減區間是；當時，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是；時，故的單調遞增區間是；當時，故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是；（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）若曲線在和處的切線互相平行，求的值，與函數曲線的切線有關，可利用導數的幾何意義來解，既對求導即可，本題由函數，知，由曲線在和處的切線互相平行，即，這樣就能求出的值；（Ⅱ）求的單調區間，常利用的導數來判斷，本題由，由于的值不知道，需對的取值范圍進行分類討論，從而求出的單調區間；（Ⅲ）對任意，均存在，使得＜，等價于在上有，只需分別求出與的最大值，利用，就能求出的取值范圍．
試題解析：.     2分
（Ⅰ），解得.     3分
（Ⅱ）.     5分
①當時，，，
在區間上，；在區間上，
故的單調遞增區間是，
單調遞減區間是.      6分
②當時，，
在區間和上，；在區間上，
故的單調遞增區間是和，
單調遞減區間是.         7分
③當時，， 故的單調遞增區間是.  8分
④當時，，
在區間和上，；在區間上，
故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.   9分
（Ⅲ）由已知，在上有.    10分
由