【題目】在時鐘的表盤上作9個
的扇形，每一個都覆蓋4個數字，每兩個覆蓋的數字不全相同.求證：一定可以找到3個扇形，恰好覆蓋整個表盤.舉一個反例說明，作8個扇形將不具有上述性質.
【答案】見解析
【解析】
證明1 取所作扇形所覆蓋的第一個數字（均按順時針方向計算）記為
，
，…，
. ①
由各個扇形覆蓋的數字不全相同知，上述9個數字互不相同.因此，鐘面上的12個數字中，還有3個不在①中，記為
，
，
. ②
這樣，在①中必存在一個數
，使
關于模4與，，均不同余，這時數組
，
，
（其中
）所對應的三個扇形恰好蓋住了鐘面上的12個數字.又由的取法知，
，
，
均不屬于②，即其所對應的3個扇形屬于已作的那9個扇形.
證明2 符合條件的扇形共可作12個：
，
其中
，且，
.
將這12個扇形分成四組：
第一組 
，
，
；
第二組 
，
，
；
第三組 
，
，
；
第四組 
，
，
.
每一組都能覆蓋整個表盤.當任作9個扇形時，相當于從上述4組中取出9個元素，由
知，必存在3個元素屬于同一組，這同一組的三個扇形便覆蓋了整個鐘面.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，圓心為點
，點
是圓內一個定點，
是圓上任意一點，線段
的垂直平分線
和半徑
相交于點
在圓上運動.
（l）求動點
的軌跡
的方程;
（2）若
為曲線上任意一點，
|的最大值;
（3）經過點
且斜率為
的直線交曲線于
兩點在
軸上是否存在定點
，使得
恒成立？若存在，求出點坐標：若不存在，說明理由.
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【題目】已知f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0).
（1）若曲線y=f(x)在點(1，f（1）)處的切線方程為y=x，求a、b的值；
（2）若f(x)≤x2+x恒成立，求ab的最大值.
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【題目】已知橢圓
：
（
）的左，右頂點分別為
，
，長軸長為
，且經過點
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若
為橢圓上異于，的任意一點，證明：直線
，
的斜率的乘積為定值；
（3）已知兩條互相垂直的直線
，
都經過橢圓的右焦點
，與橢圓交于
，
和，
四點，求四邊形
面積的取值范圍.
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【題目】對于定義在區間D上的函數
:若存在閉區間
和常數e，使得對任意
，都有
，且對任意
，當
時，
恒成立，則稱函數為區間D上的“平底型”函數.
（1）判斷函數
和
是否為R上的“平底型”函數？并說明理由；
（2）若函數
是區間
上的“平底型”函數，求m和n的值.
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【題目】甲、乙二人參加某體育項目訓練,近期的五次測試成績得分情況如圖所示.
(1)分別求出兩人得分的平均數與方差;
(2)根據圖和上面算得的結果,對兩人的訓練成績作出評價.
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【題目】已知平面直角坐標系
中，過點
的直線l的參數方程為
(t為參數)，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為
與曲線C相交于不同的兩點M，N．
(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
(2)若
，求實數a的值．
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