Question

【題目】已知函數，．

求函數的單調區間和極值；

設，且、是曲線上的任意兩點，若對任意的，直線AB的斜率恒大于常數m，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）定義域為R，求其導函數，。討論當當與兩種情況下導函數的符號，即可判斷單調區間與極值。

（2）設是任意的兩實數，且，根據的斜率恒大于常數，可得，化簡得；構造函數，求導得恒成立，即，進而求得m的取值范圍。

（1）由題知定義域為，，，

①當時，，

在上單調遞增，即增區間為；

則無極值；

②當時，的解為，

當時，， 的減區間為；

當時，， 的增區間為．

則極小值為，無極大值；

（2）設 是任意的兩實數，且 ，由題設知

，故，

∴令函數 ，

則在上單調遞增，

∴恒成立，

∴對任意的，恒成立，

∴．

又當時，

故．