Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=6，AD=4，AA₁=3，分別過BC、A₁D₁的兩個平行截面將長方體分成三部分，其體積分別記為V1=VAEA1-DFD1，V3=VB1E1B=C1F1C．若V₁：V₂：V₃=1：4：1，則截面A₁EFD₁的面積為（　　）

• A、4

  10

• B、8

  3

• C、4

  13

• D、16

Answer 1

分析：由題意先判斷截面是一個矩形，由長方體的體積和各個幾何體體積的比值，求出VAEA1-DFD1的體積，根據柱體的體積公式求出AE，進而求出截面的另一邊EA₁長度，代入矩形面積公式求出截面的面積．

解答：解：由題意知，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面A₁D₁EF∥平面B₁C₁E₁F₁，
∴截面是一個矩形，并且長方體的體積V=6×4×3=72，
∵V₁：V₂：V₃=1：4：1，∴V1=VAEA1-DFD1=

1

6

×72=12，
則12=

1

2

×AE×A₁A×AD，解得AE=2，
在直角△AEA₁中，EA₁=

32+22

=

13

，
故截面的面積是EF×EA₁=4

13

，
故選C．

點評：本題主要考查了柱體的體積的求法，關鍵由題意和幾何體的特征求出底面積和高，代入對應的體積公式進行求解．