Question

【題目】已知函數 .

（1）求函數的極小值；

（2）求證：當時，.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）由題意可得分類討論函數的極小值即可.

（2）令，原問題等價于,即證.據此分類討論，和三種情況即可證得題中的結論.

（1）

當時，即時，，函數在上單調遞增，無極小值；

當時，即時，，函數在上單調遞減；

，函數在上單調遞增；

，

綜上所述，當時，無極小值；當時，

（2）令

當時，要證：，即證,即證，

要證，即證.

①當時，

令，，所以在單調遞增，

故，即.

，

令，，

當，在單調遞減；，在單調遞增，故，即.當且僅當時取等號

又，

由、可知

所以當時，

②當時，即證.令，，在上單調遞減，在上單調遞增，，故

③當時，當時，，由②知，而，

故；

當時，，由②知，故；

所以，當時，.

綜上①②③可知，當時，.