Question

【題目】已知直線l：

1證明直線l經過定點并求此點的坐標；

2若直線l不經過第四象限，求k的取值范圍；

3若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）定點（﹣2，1）（2）k≥0；（3）見解析

【解析】

分析：（1）直線l的方程可化為y=k（x+2）+1，直線l過定點（-2，1）；（2）要使直線l不經過第四象限，則直線的斜率和直線在y軸上的截距都是非負數，解出k的取值范圍；
（3）先求出直線在兩個坐標軸上的截距，代入三角形的面積公式，再使用基本不等式可求得面積的最小值.

（1）直線l的方程可化為y=k（x+2）+1，

故無論k取何值，直線l總過定點（﹣2，1）．

（2）直線l的方程可化為y=kx+2k+1，則直線l在y軸上的截距為2k+1，

要使直線l不經過第四象限，則，

解得k的取值范圍是k≥0．

（3）依題意，直線l: y=kx+2k+1，在x軸上的截距為﹣，在y軸上的截距為1+2k，

∴A（﹣，0），B（0，1+2k），

又﹣＜0且1+2k＞0，

∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）

=（4k++4）≥（4+4）=4，

當且僅當4k=，即k=或-時，取等號，當k=-時直線過原點，不存在三角形，故舍掉.

此時直線方程為：