Question

【題目】已知曲線C:x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0,其中k≠－1.

(1)求證:曲線C都表示圓,并且這些圓心都在同一條直線上;

(2)證明:曲線C過定點;

(3)若曲線C與x軸相切,求k的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

(1) 將方程配方得到圓的標準方程，由k≠－1可得曲線一定表示圓；根據圓心的坐標，消去參數可得圓心所在的直線方程。

(2) 將曲線方程變化為關于k的方程，進而令系數、常數都為0，即可求得所過的定點坐標。

(3) 因為與y軸相切，所以縱坐標的絕對值即為圓的半徑，因而可求得k的值。

(1)原方程可化為(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.

∵k≠－1,

∴5(k＋1)2＞0.

故方程表示圓心為(－k,－2k－5),

半徑為的圓.

設圓心為(x,y),有

消去k,得2x－y－5＝0.

∴這些圓的圓心都在直線2x－y－5＝0上.

(2)將原方程變形成

k(2x＋4y＋10)＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0.

上式關于參數k是恒等式,

∴

解得

∴曲線C過定點(1,－3).

(3)∵圓C與x軸相切,

∴圓心到x軸的距離等于半徑,

即|－2k－5|＝|k＋1|.

兩邊平方,得(2k＋5)2＝5(k＋1)2.

∴.