Question

10、若實數t滿足f（t）=-t，則稱t是函數f（x）的一次不動點．設函數f（x）=lnx與函數g（x）=e^x（其中e為自然對數的底數）的所有一次不動點之和為m，則（　　）

A、m＜0

B、m=0

C、0＜m＜1

D、m＞1

Answer 1

分析：函數y=lnx的圖象與直線y=-x有唯一公共點（t，-t）則有t=-ln（-t），e^x=-x?x=ln（-x）?x=-t．故兩個函數的所有次不動點之和m=t+（-t）=0．
或利用函數y=lnx的圖象與函數y=e^x的圖象關于直線y=x對稱即得出答案．

解答：解：函數y=lnx的圖象與直線y=-x有唯一公共點（t，-t）則有t=-ln（-t），
而e^x=-x?x=ln（-x）?x=-t．故兩個函數的所有次不動點之和m=t+（-t）=0．
（法二）因為函數y=lnx的圖象與函數y=e^x的圖象關于直線y=x對稱
所以y=lnx與y=-x的交點和y=e^x與 y=-x的交點關于y=x對稱，從而可得 m=0
故選B

點評：本題以新定義為載體，考查了函數圖象的對稱性的靈活運用，解題的關鍵是靈活應用互為反函數的函數圖象關于y=x對稱的性質．