Question

【題目】設有三個鄉鎮，分別位于一個矩形的兩個頂點M，N及的中點S處，，現要在該矩形的區域內（含邊界），且與M，N等距離的一點O處設一個宣講站，記O點到三個鄉鎮的距離之和為．

（1）設，試將L表示為x的函數并寫出其定義域；

（2）試利用（1）的函數關系式確定宣講站O的位置，使宣講站O到三個鄉鎮的距離之和最小．

Answer 1

【答案】（1）；（2）宣講站位置O滿足：，時，可使得三個鄉鎮到宣講站的距離之和最小．

【解析】

（1）根據銳角三角函數的定義表示出，從而得出關于的函數；

（2）利用換元法，令，可得，然后再根據不等式的性質和三角函數的性質，從而求出取得最小值時的大小．

（1）過O作，垂足為T，圖略，則T為的中點，

∴，

∴，，，

∴．

（2）由（1）知，，

∴，

令，

則，∴，

由得，或（舍），

當時，，L取最小值，

即宣講站位置O滿足：，，時，

可使得三個鄉鎮到宣講站的距離之和最小．