Question

【題目】已知函數.

（1）判斷函數的奇偶性，并說明理由；

（2）若在上的最小值為3，求實數的值以及相應的的值.

Answer 1

【答案】（1）時，函數為偶函數；時，函數為奇函數；時，函數為非奇非偶函數；理由見解析；（2），

【解析】

（1）分為，，三種情況，探究 與 的關系，即可知奇偶性；

（2）令，則 在最小值為3，結合導數探究當 取何值時，函數取最小值，進而可求出的值以及相應的的值.

解：（1）由題意知，的定義域為， ，

當時，，則 為偶函數；

當時，，則 為奇函數；

當時，且，故此時為非奇非偶函數.

（2）設 ，由題意知， 在最小值為3.則.

當 時，，則 在遞增，此時， 最小值 ，

即 ，解得 與矛盾，故舍去；

當時，令，解得或 （舍去）；當，即 時，

在恒成立，由之前的討論可知，此時與矛盾，舍去；

當，即時，在 上，在上，

所以在上 遞減，在上 遞增，

則當 時，有最小值，即 ，解得，此時.