Question

已知函數f(x)=(a、b為常數,a≠0)滿足f(2)=1,且f(x)=x有唯一解。如記x_n=f(x_n-1),且x₁=1,n∈N^*,求x_n.

Answer 1

x_n=.

由f(2)=1,得=1,即2a+b=2.
f(x)=x=x,即ax²+bx-x=0有唯一解.
∵Δ=(b-1)²=0,∴b=1.
當x₁=1時,x_n=f(x_n-1)=,由已知有x_n＞0,
則==+,即-=.
故{}是首項為1,公差為的等差數列.
∴=1+(n-1)=,故x_n=.