Question

已知數列{a_n}的首項a₁=2，前n項和為S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=

an

(an-1)(an+1-1)

，求證：數列{b_n}的前n項和T_n∈[

2

3

，1）

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據等差數列的通項公式，建立方程組，求出首項和公差，即可求數列{a_n}的通項公式； 
（2）利用裂項法，即可求T_n=

1

S1

+

1

S2

+…

1

Sn

的值．

解答： 解：（1）∵-a₂，S_n，2a_n+1成等差數列，
∴2S_n=-a₂+2a_n+1，
當n≥2，2S_n-1=-a₂+2a_n，
兩式相減得2a_n=2a_n+1-2a_n，
∴2a_n=a_n+1，即

an+1

an

=2，
當n=1時，2a₁=-a₂+2a₂，即a₂=2a₁，滿足

an+1

an

=2，
即數列{a_n}是公比q=2的等比數列，
則數列{a_n}的通項公式a_n=2×2^n-1=2ⁿ； 
（2）b_n=

an

(an-1)(an+1-1)

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

2n+1-1-(2n-1)

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
則T_n=

1

2-1

-

1

22-1

+

1

22-1

-

1

23-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

＜1，
∵2ⁿ⁺¹-1≥3，
∴1-

1

2n+1-1

≥1-

1

3

=

2

3

，
即T_n∈[

2

3

，1）成立．

點評：本題主要考查等差數列和等比數列的通項公式以及數列的求和，利用裂項法是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力．