Question

已知正△ABC的邊長為3，P₁是邊AB上的一點且BP₁=1，從P₁向BC作垂線，垂足為Q₁，從Q₁向CA作垂線，垂足為R₁，從R₁向AB作垂線，垂足為P₂．再從P₂重復同樣作法，依次得到點Q₂，R₂，P₃，Q₃，R₃，…P_n，Q_n，R_n，…，設BP_n=a_n（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a_n+1與a_n關系式；
（Ⅱ）求數列{na_n}前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的應用

專題：等差數列與等比數列

分析：本題（Ⅰ）利用多個直角三角形中的邊角關系，求出邊BP_n與BP_n+1 的關系，即a_n+1與a_n關系；（Ⅱ）利用已得的遞推關系，構造新的等比數列，通過新數列的通項公式，得到數列{a_n}的通項公式，再對數列{a_n}分組求和，其中部分數列用錯位相減法求和，得到本題的結論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意：BP_n=a_n，BP_n+1=a_n+1，
則BQn=BPncos60°=

1

2

an，
QnC=3-

1

2

an，
CRn=QnCcos60°=

1

2

(3-

1

2

an)，
ARn=3-CRn=

3

2

+

1

4

an，
APn+1=ARncos60°=

1

2

ARn=

3

4

+

1

8

an，
∴BPn+1=3-APn+1=

9

4

-

1

8

an，
即an+1=-

1

8

an+

9

4

 (n∈N*)．
（Ⅱ）由即an+1=-

1

8

an+

9

4

 (n∈N*)，得到：an+1-2=-

1

8

(an-2)，
∴{a_n-2}是以a₁-2=-1為首項，公比為-

1

8

的等比數列．
∴an-2=-(-

1

8

)n-1，即an=2-(-

1

8

)n-1 (n∈N*)．
∴nan=2n-n(-

1

8

)n-1，則
Sn=2(1+2+3+…+n)-[1•(-

1

8

)0+2•(-

1

8

)1+…+n(-

1

8

)n-1]，
令Tn=1•(-

1

8

)0+2•(-

1

8

)1+…+n(-

1

8

)n-1，
-

1

8

Tn=1•(-

1

8

)1+2•(-

1

8

)2+…+n•(-

1

8

)n，
兩式相減得：

9

8

Tn=1+(-

1

8

)+(-

1

8

)2+…+(-

1

8

)n-1-n(-

1

8

)n=

1-(- 1 8 )n

1-(- 1 8 )

-n(-

1

8

)n，
∴Tn=

64+(9n+8)(- 1 8 )n-1

81

．
∴Sn=n(n+1)-

(9n+8)(- 1 8 )n-1

81

．

點評：本題考查了解三角形、構造新數列、分組求和法、等差數列求和、錯位相減法求和等知識點，本題的思維質量高，計算量較大，屬于難題．