Question

在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點為A（0，-1），B（0，1）平面內兩點G、M同時滿足①++=,②||=||=||③∥

(1)求頂點C的軌跡E的方程.

(2)設P、Q、R、N都在曲線E上，定點F的坐標為（，0），已知∥，∥且·=0.

求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值.

Answer 1

解：(1)設C（x,y），∵+=2,由①知=-2,∴G為△ABC的重心，

∴G（,）.

    由②知M是△ABC的外心，∴M在x軸上由③知M（,0）,由||=||得化簡整理得：+y²=1(x≠0).

(2)F(,0)恰為+y²=1的右焦點設PQ的斜率為k≠0且k≠±,則直線PQ的方程為y=k(x-).

    由

(3k²+1)x²-6k²x+6k²-3=0.設P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂)則x₁+x₂=,x₁·x₂=.

    則|PQ|=·=·=.

∵PN⊥PQ,把k換成-得|RN|=.

∴S=|PQ|·|RN|==2-.∴3(k²+)+10=.∵k²+≥2,∴≥16，∴≤S＜2,(當k=±1時取等號)又當k不存在或k=0時，S=2.綜上可得≤S≤2.

∴S_max=2,S_min=.