Question

【題目】已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

根據(jù)題意，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得出，再通過(guò)對(duì)進(jìn)行分類討論，得出導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況，對(duì)應(yīng)得出區(qū)間上的單調(diào)性，即可求解出答案。

根據(jù)題意，列出不等式，利用分離參數(shù)的方法，得出對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，將題目轉(zhuǎn)化為求當(dāng)時(shí)的最小值問(wèn)題。令，，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)研究其單調(diào)性求出最小值，即可得出答案。

解：（1）依題意，，，

①若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

②若，令，得.

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

綜上所述，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）依題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，即

對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立.

令，，則

，

由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

故，即，得.

所以方程有唯一解，

且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

所以，所以.