Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數且）．在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為．

（1）求直線的極坐標方程及曲線的直角坐標方程；

（2）若點在直線上，點在曲線上，求證：．

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先將直線的參數方程化為普通方程，再將直線的普通方程轉化為極坐標方程，利用可將曲線的極坐標方程轉化為直角坐標方程；

（2）設點的坐標為，利用點到直線的距離公式以及三角函數的有界性可證明出.

（1）在直線的參數方程（為參數且）中消去參數得，所以，直線的極坐標方程為.

曲線的極坐標方程為，即，即，

轉化為直角坐標方程為，即；

（2）曲線的參數方程為（為參數），

設點的坐標為，則點到直線的距離為，

因此，.