Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最大值；

（2）若函數(shù)與有相同極值點(diǎn)．

①求實(shí)數(shù)的值；

②若對(duì)于（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），不等式恒成立，

求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）1； （ⅱ）．

【解析】

試題（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而得函數(shù)的最大值；（2）（ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)與有相同極值點(diǎn)，可得是函數(shù)的極值點(diǎn)，從而求解的值；（ⅱ）先求出，，，，，再將對(duì)于，不等式恒成立，等價(jià)變形，分類(lèi)討論，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍．

試題解析：（1），

由得，由得，

∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

∴函數(shù)的最大值為；

（2）∵，∴，

（Ⅰ）由（1）知，是函數(shù)的極值點(diǎn)，又∵函數(shù)與有相同極值點(diǎn)，

∴是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，解得，

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極小值，符合題意；

（ⅱ）∵，，， ∵， 即，∴，，

由（ⅰ）知，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∵，

而，∴，∴，，

①當(dāng)，即時(shí)，對(duì)于，不等式恒成立

，

∵，∴，又∵，∴，

②當(dāng)，即時(shí)，對(duì)于，不等式，

，

∵，∴，又∵，

∴．綜上，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍為．