Question

（2012•貴州模擬）已知函數f(x)=

a+blnx

x+1

在點（1，f（1））處的切線方程為x+y=2．
（I）求a，b的值；
（II）對函數f（x）定義域內的任一個實數x，f(x)＜

m

x

恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導函數，利用函數在點（1，f（1））處的切線方程為x+y=2，建立方程組，即可求a，b的值；
（II）對函數f（x）定義域內的任一個實數x，f(x)＜

m

x

恒成立，等價于

2x-xlnx

x+1

＜m恒成立，求出函數的最值，即可求實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

a+blnx

x+1

，∴f′(x)=

b x (x+1)-(a+blnx)

(x+1)2

∵點（1，f（1））在直線x+y=2上，∴f（1）=1，
∵直線x+y=2的斜率為-1，∴f′（1）=-1
∴有

a 2 =1 2b-a 4 =-1

，∴

a=2 b=-1

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=

2-lnx

x+1

(x＞0)
由f(x)＜

m

x

及x＞0，可得

2x-xlnx

x+1

＜m
令g(x)=

2x-xlnx

x+1

，∴g(x)=

(1-lnx)(x+1)-(2x-xlnx)

(x+1)2

=

1-x-lnx

(x+1)2

令h（x）=1-x-lnx，∴h′(x)=-1-

1

x

＜0(x＞0)，故h（x）在區間（0，+∞）上是減函數，
故當0＜x＜1時，h（x）＞h（1）=0，當x＞1時，h（x）＜h（1）=0
從而當0＜x＜1時，g′（x）＞0，當x＞1時，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，1）是增函數，在（1，+∞）是減函數，故g（x）_max=g（1）=1
要使

2x-xlnx

x+1

＜m成立，只需m＞1
故m的取值范圍是（1，+∞）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．