Question

【題目】已知數列的各項均為正數，前項和滿足；數列是等比數列，前項和為.

（1）求數列的通項公式；

（2）已知等比數列滿足，，，求數列前項和為；

（3）若，且等比數列的公比，若存在，使得，試求的值.

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）2

【解析】

（1）化為，由與關系，即可求出通項；

（2）由（1）得，將已知化為，即是關于函數，進而轉化為求的最值，求出，即可求解；

（3）由（1）（2），即為，求解關于的不定方程，構造數列，判斷單調性，得出的可能值，驗證，即可求解.

（1）數列前項和滿足,

即；，

；

，∵數列的各項均為正數，

∴，又，∴，

（2）.∵等比數列滿足，，

∴，令，

，當時，，

在單調遞增；

當時，，單調遞減；

∴，即，而，∴，

∴且此時，設等比數列的公比為，

，，所以數列前項和為

.

（3）由，得:，

正數數列公比的等比數列.∵，，

即:，即:，

設，，∵，時，

上式分子，

數列單調遞增

.∴時，與矛盾

.∴若時，(∵)

故，解得符合條件.