Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁₂+a₁₅=15，a₇=1，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意，列出關(guān)于數(shù)列的首項(xiàng)和公差的方程組，解得到公差和首項(xiàng)，代入通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)；
（2）根據(jù)（1）先求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，再由a_n的正負(fù)項(xiàng)對(duì)n進(jìn)行分類，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，分別化簡(jiǎn)數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d，
因?yàn)閍₁₂+a₁₅=15，a₇=1，
所以

2a1+25d=15 a1+6d=1

，解得

a1=-5 d=1

，
所以a_n=-5+（n-1）=n-6；
（2）由（1）知a_n=n-6，令a_n=0得n=6，
設(shè)T_n=a₁+a₂+…+a_n=-5+（-4）+…+（n-6）
=

n(-5+n-6)

2

=

n(n-11)

2

，
當(dāng)n≤6時(shí)，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…+a_n）=-

n(n-11)

2

，
當(dāng)n＞6時(shí)，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a₆|+|a₇|+…+|a_n|
=-（a₁+a₂+…+a₆）+（a₇+a₈+…+a_n）
=T_n-2T₆=

n(n-11)

2

-2×

6(6-11)

2

=

n2-11n+60

2

，
綜上得，S_n=

- n(n-11) 2 ，n≤6 n2-11n+60 2 ，n＞6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及利用分類討論思想求數(shù)列的前n項(xiàng)和，這是常考的題型．