Question

【題目】（本小題滿分12分）已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， .

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若為整數(shù)， ，且當(dāng)時(shí)， 恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；（2）2.

【解析】試題分析：（1）求單調(diào)增區(qū)間，只要解不等式，它的解集區(qū)間就是所求增區(qū)間；（2）不等式恒成立，不等式具體化為，由于，因此又可轉(zhuǎn)化為，這樣小于的最小值，因此下面只要求的最小值. ，接著要討論的零點(diǎn)，由于在上單調(diào)遞增，且，因此在上有唯一零點(diǎn)，即在上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)其為，則，可證得為最小值， ，從而整數(shù)的最大值為2.

試題解析：（1）.

若，則恒成立，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增.........2分

若，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為..... 4分

（2）由于，所以，

當(dāng)時(shí)， ，故————① 6分

令，則

函數(shù)在上單調(diào)遞增，而

所以在上存在唯一的零點(diǎn)，

故在上存在唯一的零點(diǎn). 8分

設(shè)此零點(diǎn)為，則.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以，在上的最小值為.由可得10分

所以，由于①式等價(jià)于.

故整數(shù)的最大值為2. 12分