Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝e^x－ax－2.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若a＝1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．

Answer 1

（1）f(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增．
（2）2

(1)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，f′(x)＝e^x－a.
若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．
若a>0，則當(dāng)x∈(－∞，ln a)時(shí)，f′(x)<0；
當(dāng)x∈(ln a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.
所以，f(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增．
(2)由于a＝1時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(e^x－1)＋x＋1.
故當(dāng)x>0時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等價(jià)于
k<＋x(x>0)             ①
令g(x)＝＋x，則g′(x)＝＋1＝.
由(1)知，函數(shù)h(x)＝e^x－x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e²－4>0.
所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零點(diǎn)．
故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一零點(diǎn)．
設(shè)此零點(diǎn)為α，則α∈(1,2)．
當(dāng)x∈(0，α)時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x∈(α，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g(α)．
又由g′(α)＝0，得e^α＝α＋2, 所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．
由于①式等價(jià)于k<g(α)，
故整數(shù)k的最大值為2.