Question

【題目】已知函數 .

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，證明：對任意的，有.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意結合導函數的解析式分類討論有：

當時， 在上單調遞增，在上單調遞減；

當時， 在上單調遞增，在上單調遞減；

當時， 在上單調遞增；

當時， 在和上單調遞增，在上單調遞減；

(2)原問題等價于在上恒成立，構造函數，據此可得，則恒成立.

試題解析：

（1）由題意得，

當時，由得且，

則

①當時， 在上單調遞增，在上單調遞減；

②當時， 在上單調遞增，在上單調遞減；

③當時， 在上單調遞增；

④當時， 在和上單調遞增，在上單調遞減；

（2）當時，要證在上恒成立，

只需證在上恒成立，

令，

因為，

易得在上單調遞增，在上單調遞減，故，

由得，得，

當時， ；當時， ，

所以，

又，所以，即，

所以在上恒成立，

故當時，對任意的， 恒成立.