Question

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA=2． （Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連結BD， ∵四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，
E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，
∴BE⊥AB，PA⊥BE，
∵AB∩PA=A，∴BE⊥平面PAB，
∵BE平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BE⊥CD，又PA⊥底面ABCD，
以點E為坐標原點，EB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸，
過點E垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則E（0，0，0），B（ ，0，0），D（0，﹣ ，0），A（ ，﹣1，2），
=（0，1，2）， =（ ，0，0）， =（0，﹣ ，0）， =（ ，﹣1，2），
設平面BPE的法向量 =（x，y，z），
則 ，取y=2，得 =（0，2，﹣1），
設平面DPE的法向量 =（a，b，c），
則 ，取a=2 ，得 =（2 ，0，﹣ ），
設二面角B﹣PE﹣D的平面角為θ，
cosθ= = = ．
∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）連結BD，推導出BE⊥AB，PA⊥BE，從而BE⊥平面PAB，由此能證明平面PBE⊥平面PAB．（Ⅱ）以點E為坐標原點，EB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸，過點E垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B﹣PE﹣D的余弦值．
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．