Question

【題目】已知橢圓：（），過原點(diǎn)的兩條直線和分別與交于點(diǎn)、和、，得到平行四邊形.

（1）當(dāng)為正方形時，求該正方形的面積.

（2）若直線和關(guān)于軸對稱，上任意一點(diǎn)到和的距離分別為和，當(dāng)為定值時，求此時直線和的斜率及該定值.

（3）當(dāng)為菱形，且圓內(nèi)切于菱形時，求，滿足的關(guān)系式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）和，；（3）.

【解析】

(1)直線和的方程為和利用，可得，根據(jù)對稱性，可得正方形的面積；

(2) 利用距離公式，結(jié)合為定值，即可證明結(jié)論；(3)設(shè)出切線的方程與橢圓方程聯(lián)立，分類討論，即可求滿足的關(guān)系式.

（1）因?yàn)?/span>為正方形，所以直線和的方程為和.

點(diǎn)、的坐標(biāo)、為方程組的實(shí)數(shù)解，

將代入橢圓方程，解得.

根據(jù)對稱性，可得正方形的面積.

（2）由題設(shè)，不妨設(shè)直線的方程為（），于是直線的方程為.

設(shè)，于是有，又，，

，將代入上式，

得，

對于任意，上式為定值，必有，即，

因此，直線和的斜率分別為和，

此時.

（3）設(shè)與圓相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，于是切線的方程為.

點(diǎn)、的坐標(biāo)、為方程組的實(shí)數(shù)解.

① 當(dāng)或時，均為正方形，橢圓均過點(diǎn)，于是有.

② 當(dāng)且時，將代入，

整理得，

于是，

同理可得.

因?yàn)?/span>為菱形，所以，

得，即，

于是，

整理得，由，

得，即.

綜上，，滿足的關(guān)系式為.